Informasjon

Interessante fakta om tallteori

Interessante fakta om tallteori

Tallteori er en gren av matematikk viet til studiet av heltall, de såkalte telletallene. Tallteori fikk sin start med de gamle babylonerne.

En babylonsk tablett fra 1800 f.Kr. inneholder en liste over pythagoriske tripler. Som alle som noen gang har løst for sidene til en rett trekant vet, er dette tall der a2 + b2 = c2, et eksempel på å være,
32 + 42 = 52

SE OGSÅ: RAR OG FORTROLIGE FAKTA OM NUMMER 23

De gamle grekerne la merke til mange ting om heltall, for eksempel multiplisere et oddetall med et partall, og svaret er alltid jevnt. Så ble det mørkt for tallteorien, bokstavelig talt, som i "mørketiden".

Først i den franske matematikeren Pierre de Fermat (1607 - 1665) fikk tallteorien et løft. Maddeningly, Fermat publiserte aldri verket sitt, og alt vi vet om det kommer fra hans korrespondanse med andre matematikere, og i notatene han krøllet i bokmarginer.

Sveitsisk matematiker, Leonhard Euler (1707 - 1783) kom neste, men det var ikke før tyskeren Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) at tallteorien virkelig kom i gang. Det er matematikere, og så er det Karl Friedrich Guass.

En flott historie om Gauss

Det er en historie om ham: som ung student i Tyskland oppførte han seg dårlig i klassen. Som straff satte læreren ham oppgaven med å legge til tallene 1 til 100, og tenkte at han ville være med på det en stund. I stedet spratt Gauss ut av setet på få minutter med svaret: 5050.

Sjokkert spurte læreren hvordan han hadde fått det svaret, og Gauss svarte at han hadde lagt merke til at 1 + 100 tilsvarte 101, 2 + 99 også tilsvarte 101, 3 + 98 ... Siden det ville være 50 par tall som alle tilsvarte 101 , alt han måtte gjøre var å multiplisere 50 med 101 for å få svaret.

Ofte referert til som Princeps mathemataticorum, Latinsk for den fremste av matematikere, ble Gauss født i Tyskland i 1777, og som et lite barn var det et beregnende vidunderbarn. Som bare tenåring konstruerte Gauss en vanlig polygon med 17 sider, kalt a heptadecagon, ved rett kant og kompass alene. Dette var det første store gjennombruddet innen polygonkonstruksjon på over 2000 år.

17 er et Fermat-tall som også er et primtall. Et Fermat-nummer Fn er av skjemaet 2m + 1, hvor m er nth kraften på 2, det vil si m = 2n, hvor n er et helt tall. For å finne Fermat-nummer Fn for et helt tall n, må du først finne m = 2n , og beregne deretter 2m + 1. Eksempler på primatall i Fermat er:
F0 = 220 + 1 = 3
F1 = 221 + 1 = 5
F2 = 222 + 1 = 17
F3 = 223 + 1 = 257

Dette demonstrerte en analyse av faktoriseringen av polynomligninger. Gauss var så glad i denne formen, at han ba om at den skulle legges på hans gravstein.

I 1797 var Gauss doktorgradsavhandling et bevis på den grunnleggende teoremet om algebra som sier at hver polynomligning med reelle eller komplekse koeffisienter har like mange røtter som graden. Roten er der polynomet er lik null. La oss se på et eksempel:
x2 - 9 = 0, og legger til 9 til begge sider,
x2 = 9, tar kvadratroten på begge sider
x = pluss og minus 3, som er røttene.

Men en annen måte å skrive ligningen på er:
x2 - 9 = (x + 3) (x - 3) som kalles dens faktorer.

I 1801 hadde Gauss oppfunnet algebraisk tallteori, som inneholdt ideen om "modulos". Disse definerer sett med tall. For eksempel hvis (en - b) = c, og c kan deles med m, deretter en og b er kongruent til hverandre etter antall m. La oss se hvordan dette ser ut:
720 - 480 = 240
240 kan deles med tallene 60, 20, 10 osv.
La oss velge 60 som våre c, så vi kan si,
720 er kongruent til 480 ved modulo 60.

Vi bruker modulo 60 aritmetikk hver dag når vi forteller tiden på en klokke. Hver time på en klokke er modulo 60 fordi den kan deles med 60 minutter.

Gauss bidro også til forståelsen av primtallsetningen som gir en omtrentlig verdi for antall primtall som er mindre enn eller lik et gitt positivt reelt tall, x, π (x). Et primtall er et helt tall større enn 1, hvis eneste faktorer er 1 og seg selv. En faktor er hele tall som kan deles jevnt i et annet tall.

Det betyr at det bare er en primtall mellom 1 og 2 (tallet 2), to primtall mellom 1 og 3.5 (tallene 2 og 3) og fire primtall mellom 1 og 11 (tallene 2, 3, 5 og 7)
π (2) = 1
π (3,5) = 2
π (10) = 4.
De første primtallene er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29.

Bidrag til astronomi og statistikk

I 1800 hadde den italienske astronomen Giuseppe Piazzi oppdaget dvergplaneten Ceres, men den forsvant snart bak solen før det ble tatt tilstrekkelige observasjoner for å beregne bane, og hvor den skulle dukke opp igjen. Mange astronomer sendte inn sine ideer om hvor Ceres ville dukke opp igjen, men en idé skilte seg dramatisk fra resten - Gauss.

Da Ceres dukket opp igjen 7. desember 1801, var det nesten akkurat der Gauss hadde spådd at det ville være. For å finne Ceres hadde Gauss oppfunnet metoden med minste firkanter. Denne metoden finner linjen som passer best for et datasett, hvor hvert datapunkt er representativt for forholdet mellom en kjent uavhengig variabel og en ukjent avhengig variabel. I dag brukes metoden med minste kvadrater mye i finansnæringen.

Etter det jobbet Gauss i mange år som astronom, og han publiserte et stort arbeid om beregning av baner. Mellom 1818 og 1832 satte hertugen av Hannover Gauss til oppgave å kartlegge Hannover territorium. Den kartleggingen førte til at Gauss formulerte et nytt konsept med overflatekromming, og dette var det første murring av grenen av matematikk som kalles topologi.

I løpet av 1830-årene ble Gauss interessert i magnetisme og deltok i den første verdensomspennende kartleggingen av jordens magnetfelt. For å gjøre det, oppfant han magnetometeret. Mot slutten av livet kom Gauss til å tvile på at den euklidiske geometrien var komplett, og han mente at det måtte eksistere en alternativ geometrisk beskrivelse av rommet. Men Gauss klarte ikke å publisere ideene sine, og dette lot døren stå åpen for ungaren Janos Bolyai og russeren Nikolay Lobachevsky. Etter Gauss død i 1855 ble det funnet mange nye ideer blant hans upubliserte papirer, og det ble overlatt til Bernhard Riemann å fullføre styrtet av euklidisk geometri.


Se videoen: Interessante fakta om våren (Oktober 2021).